Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{π}{6} + x) + \sin (\frac{π}{6} - x) = \cos (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (\frac{π}{6} + x) + \sin (\frac{π}{6} - x)$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (x) + \sin (\frac{π}{6} - x)$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (x) + \sin (\frac{π}{6}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (x) + \sin (\frac{π}{6}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (x) + \sin (\frac{π}{6}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{π}{6}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.4

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{π}{6}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cos (- x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.6

Так как $\cos (- x)$ — четная функция, перепишем $\cos (- x)$ в виде $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cos (x) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (- x)$

Этап 4.1.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (- x)$

Этап 4.1.9

Так как $\sin (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$

Этап 4.1.10

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ из $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + 0 + \frac{\cos (x)}{2}$

Этап 4.2.2

Добавим $\frac{\cos (x)}{2}$ и $0$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\cos (x)}{2}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

Этап 4.4

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Этап 4.5.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (\frac{π}{6} + x) + \sin (\frac{π}{6} - x) = \cos (x)$ — тождество