Тригонометрия Примеры

$\tan (x) - \cot (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 3

Изменим порядок членов.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\tan (x) - \cot (x)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)$

Этап 5.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.2

Чтобы записать $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 6.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7

Упростим каждый член.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 8

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\tan (x) - \cot (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ — тождество