Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π \cdot 3}{12})$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\cos (\frac{8 π + 3 \cdot π}{12})$

Этап 5.3

Добавим $8 π$ и $3 π$ .

$\cos (\frac{11 π}{12})$

Этап 6

Точное значение $\cos (\frac{11 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (\frac{π}{12})$

Этап 6.2

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 6.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 6.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 6.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 6.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 6.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.8

Упростим $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 6.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 6.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.96592582 \dots$