Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (315)}{1 + \cos (315)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{- \sin (45)}{1 + \cos (315)}$

Этап 1.2

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (315)}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}$

Этап 2.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Этап 4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{2} \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ и $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Этап 6

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})$

Этап 7

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}$

Этап 8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{2}$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 11

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 12

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Этап 12.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Этап 12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 13.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 13.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 13.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}$

Этап 13.1.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Этап 14.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Этап 14.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Этап 14.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Этап 14.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 14.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Этап 14.1.4.4

Разделим $\sqrt{2} - 1$ на $1$ .

$- (\sqrt{2} - 1)$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sqrt{2} - - 1$

Этап 14.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{2} + 1$

Десятичная форма:

$- 0.41421356 \dots$