Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (165)$

Этап 1

Точное значение $\tan (165)$ : $- 2 + \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

${(- \tan (15))}^{2}$

Этап 1.2

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

${(- \tan (45 - 30))}^{2}$

Этап 1.3

Выделим отрицательную часть.

${(- \tan (45 - (30)))}^{2}$

Этап 1.4

Применим формулу для разности углов.

${(- \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Этап 1.5

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

${(- \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Этап 1.6

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}$

Этап 1.7

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}$

Этап 1.8

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.9

Упростим $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Умножим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

${(- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))}^{2}$

Этап 1.9.1.2

Объединим.

${(- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Этап 1.9.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Этап 1.9.3.2

Сократим общий множитель.

${(- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Этап 1.9.3.3

Перепишем это выражение.

${(- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Этап 1.9.4

Умножим $3$ на $1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.9.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.9.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1$ .

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.9.5.2.2

Сократим общий множитель.

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.9.5.2.3

Перепишем это выражение.

${(- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Этап 1.9.6

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

${(- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))}^{2}$

Этап 1.9.7

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}$

Этап 1.9.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Этап 1.9.9

Упростим.

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.10.1

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.10.2

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.11

Перепишем ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

${(- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.12

Развернем $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

${(- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.13.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.1.5.5

Найдем экспоненту.

${(- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

${(- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.13.3

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

${(- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.14

Сократим общий множитель $12 - 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

${(- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.9.14.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

${(- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.9.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Этап 1.9.14.4.2

Сократим общий множитель.

${(- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Этап 1.9.14.4.3

Перепишем это выражение.

${(- \frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Этап 1.9.14.4.4

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

${(- (2 - \sqrt{3}))}^{2}$

Этап 1.9.15

Применим свойство дистрибутивности.

${(- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

Этап 1.9.16

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(- 2 - - \sqrt{3})}^{2}$

Этап 1.9.17

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.17.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(- 2 + 1 \sqrt{3})}^{2}$

Этап 1.9.17.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2

Перепишем ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$

Этап 3

Развернем $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Этап 4.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $3$ .

$7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Этап 4.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$7 - 4 \sqrt{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$7 - 4 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.07179676 \dots$