Тригонометрия Примеры

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{12}))$

Этап 1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}))$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Этап 4.6

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})$

Этап 4.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Этап 4.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})$

Этап 4.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Этап 4.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Этап 4.11.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})$

Этап 4.12

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})$

Этап 4.13

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})$

Этап 4.14

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})$

Этап 4.15

Упростим.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})$

Этап 4.16

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})$

Этап 4.17

Развернем $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Этап 4.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Этап 4.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 4.18

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 4.18.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 4.18.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})$

Этап 4.18.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})$

Этап 4.18.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})$

Этап 4.18.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})$

Этап 4.18.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})$

Этап 4.18.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Десятичная форма:

$- 1.30899693 \dots$