Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (157.5) - 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (157.5)$ : $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Представим $157.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{315}{2}) - 1$

Этап 1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (315)}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$2 {(- \sqrt{\frac{1 + \cos (315)}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (315)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$2 {(- \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.6

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 {(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Этап 1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 {(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Этап 1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}) - 1$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}) - 1$

Этап 1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (1 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}) - 1$

Этап 1.4

Умножим $\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.5

Перепишем ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $2 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ в виде ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.5.5

Упростим.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Этап 1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Этап 1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$