Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (15) - 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (15)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

Этап 1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

Этап 1.1.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

Этап 1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Этап 1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

Этап 1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Этап 1.6

Развернем $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.6

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.10

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.11

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.14

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.15

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

Этап 1.7.1.16

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

Этап 1.7.2

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

Этап 1.7.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Этап 1.8

Сократим общий множитель $8 + 4 \sqrt{3}$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

Этап 1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

Этап 1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

Этап 1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$0.86602540 \dots$