Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{7 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 1.2.2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 1.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{6}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

Этап 8

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ в виде $- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$