Тригонометрия Примеры

$\cos (2 \arctan (x))$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, x)$ . Следовательно, $\cos (\arctan (x))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.3.6.5

Упростим.

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.5

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.5.5

Упростим.

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ и ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

Этап 2.1.7

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, x)$ . Следовательно, $\sin (\arctan (x))$ равно $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Этап 2.1.8

Умножим $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Этап 2.1.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Этап 2.1.9.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

Этап 2.1.9.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2}$

Этап 2.1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2}$

Этап 2.1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2}$

Этап 2.1.9.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Этап 2.1.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Этап 2.1.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Этап 2.1.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Этап 2.1.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2}$

Этап 2.1.9.6.5

Упростим.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}$

Этап 2.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Применим правило умножения к $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{{(x \sqrt{1 + x^{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.10.2

Применим правило умножения к $x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.11

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.11.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.11.5

Упростим.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.12

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ и ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.2.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Этап 2.1.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

Этап 2.1.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$