Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (112.5)$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Представим $112.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.4

Умножим $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.5

Перепишем ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $2 - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ в виде ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.5.5

Упростим.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

Этап 1.7

Точное значение $\sin (112.5)$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

Этап 1.7.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

Этап 1.7.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.7

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.7.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Этап 1.7.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Этап 1.7.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Этап 1.7.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Этап 1.7.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Этап 1.8

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 1.9

Перепишем ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $2 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ в виде ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Этап 1.9.5

Упростим.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Этап 1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.70710678 \dots$