Тригонометрия Примеры

$\tan (2 \arccos (x))$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для тангенса.

$\frac{2 \tan (\arccos (x))}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно, $\tan (\arccos (x))$ равно $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{1 - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{1^{2} - \tan^{2} (\arccos (x))}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (\arccos (x))$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \tan (\arccos (x))) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Этап 3.3.2.2

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(1 + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Этап 3.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}) (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Этап 3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \tan (\arccos (x)))}$

Этап 3.3.5

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x})}$

Этап 3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}{x})}$

Этап 3.3.6.2

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x})}$

Этап 3.3.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x})}$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ на $\frac{x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x \cdot x}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1} x}}$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1} x^{1}}}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{1 + 1}}}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$ и $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.2.2

Добавим $- x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ и $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x \cdot x + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.3

Умножим $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}{x^{2}}}$

Этап 6.3.3.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1})}{x^{2}}}$

Этап 6.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.4

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.4.5

Упростим.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - ((1 + x) (1 - x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.5

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x + x (- x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x + x - x^{2})}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 + 0 - x^{2})}{x^{2}}}$

Этап 6.3.6.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - (1 - x^{2})}{x^{2}}}$

Этап 6.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 - - x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.9

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 + 1 x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 6.3.9.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x^{2}}}$

Этап 6.4

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x}}{\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}$

Этап 7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 1}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{2 x^{2} - 1}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{2 x^{2} - 1}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \frac{x}{2 x^{2} - 1}$

Этап 9

Объединим $\frac{x}{2 x^{2} - 1}$ и $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 x^{2} - 1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 10

Объединим $\frac{x \cdot 2}{2 x^{2} - 1}$ и $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{x \cdot 2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{2 x^{2} - 1}$

Этап 11

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{2 x^{2} - 1}$