Тригонометрия Примеры

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

Этап 1

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Синус и арксинус — обратные функции.

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.2

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.6

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (2 x))$ равно $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

Этап 2.1.10

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (2 x))$ равно $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

Этап 2.1.11

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Этап 2.1.12

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

Этап 2.1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Этап 2.1.14

Умножим $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Возведем $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ в степень $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Этап 2.1.14.2

Возведем $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ в степень $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

Этап 2.1.14.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

Этап 2.1.14.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

Этап 2.1.15

Перепишем ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ в виде $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ в виде ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.15.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.4.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.15.4.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

Этап 2.1.15.5

Упростим.

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

Этап 2.1.16

Развернем $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Этап 2.1.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Этап 2.1.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Этап 2.1.17

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Этап 2.1.17.1.2

Умножим $- 2 x$ на $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Этап 2.1.17.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

Этап 2.1.17.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Этап 2.1.17.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Этап 2.1.17.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

Этап 2.1.17.1.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

Этап 2.1.17.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

Этап 2.1.17.3

Добавим $1$ и $0$ .

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$