Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1

Применим формулу половинного угла для синуса.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 2

Перепишем $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.1.6.5

Найдем экспоненту.

$(\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) \cos (\frac{x}{2})$

Этап 5

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})$

Этап 6

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})$

Этап 7

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Этап 8.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Этап 8.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Этап 8.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})$

Этап 8.6.5

Найдем экспоненту.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})$

Этап 9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Этап 10

Изменим порядок множителей в $(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$(\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (x))}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})$