Тригонометрия Примеры

$\tan (- 345)$

Этап 1

Представим $- 345$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\tan (\frac{- 690}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$

Этап 3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$

Этап 4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Будем добавлять полные обороты $360$ ° до тех пор, пока угол не окажется между $0$ ° и $360$ °.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{1 + \cos (- 690)}}$

Этап 4.2

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Этап 4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Этап 4.5

Будем добавлять полные обороты $360$ ° до тех пор, пока угол не окажется между $0$ ° и $360$ °.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (30)}}$

Этап 4.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Этап 4.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}}$

Этап 4.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}}$

Этап 4.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}}$

Этап 4.10.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{1}{2 + \sqrt{3}}}$

Этап 4.11

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ на $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) (\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})}$

Этап 4.12

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ на $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}}$

Этап 4.13

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 4.14

Упростим.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{1}}$

Этап 4.15

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Этап 4.16

Развернем $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}$

Этап 4.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}$

Этап 4.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Этап 4.17

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Этап 4.17.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Этап 4.17.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Этап 4.17.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.17.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.17.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 4.17.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 4.17.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.17.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.17.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.17.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.17.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.17.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.17.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1}}$

Этап 4.17.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Этап 4.17.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\sqrt{7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Этап 4.17.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$