Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{11 π}{12})$

Этап 1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{11 π}{12})$

Этап 2

Точное значение $\cos (\frac{11 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{12}))$

Этап 2.2

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Этап 2.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Этап 2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

Этап 2.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Этап 2.8

Упростим $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Этап 2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Этап 2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Этап 2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Этап 2.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Этап 2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 4.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Этап 5.2

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Этап 5.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Этап 5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8}$

Этап 5.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

Этап 5.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{2 \sqrt{3} + 2}{8}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} + 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8}$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4}$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.68301270 \dots$