Тригонометрия Примеры

$\sin (15) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (45 - 30) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.2

Выделим отрицательную часть.

$\sin (45 - (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.3

Применим формулу для разности углов.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Этап 2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) \sin (45)$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} \cos (15) \sin (45)$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 6

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.2

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 8

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} - 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Этап 8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} \cos (15) \sin (45)$

Этап 8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} \cos (15) \sin (45)$

Этап 8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (15) \sin (45)$

Этап 9

Точное значение $\cos (15)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - 30) \sin (45)$

Этап 9.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - (30)) \sin (45)$

Этап 9.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Этап 9.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Этап 9.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Этап 9.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (45)$

Этап 9.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Этап 9.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Этап 9.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Этап 9.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Этап 9.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Этап 9.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

Этап 9.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

Этап 9.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

Этап 10

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} \sin (45)$

Этап 10.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Развернем $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Этап 11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Этап 11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.3

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.7

Перепишем $- 1 \sqrt{6}$ в виде $- \sqrt{6}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.1.8

Перепишем $- 1 \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.3

Вычтем $\sqrt{6}$ из $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{16} \sin (45)$

Этап 11.2.4

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Этап 12

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Этап 12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Этап 12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{8} \sin (45)$

Этап 13

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 14

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{8}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Этап 14.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Этап 14.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{8 \cdot 2}$

Этап 14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 \cdot 2}$

Этап 14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{8 \cdot 2}$

Этап 14.6

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Этап 15

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Этап 15.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 15.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{1}}{16}$

Этап 15.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{16}$

Этап 16

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{16}$

Этап 16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Этап 16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Этап 16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8}$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{8}$

Десятичная форма:

$0.125$