Тригонометрия Примеры

$\sin (105) \sin (165)$

Этап 1

Точное значение $\sin (105)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (75) \sin (165)$

Этап 1.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (30 + 45) \sin (165)$

Этап 1.3

Применим формулу для суммы углов.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (165)$

Этап 1.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (165)$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (165)$

Этап 1.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (165)$

Этап 1.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (165)$

Этап 1.8

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (165)$

Этап 1.8.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (165)$

Этап 1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (165)$

Этап 1.8.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (165)$

Этап 1.8.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (165)$

Этап 1.8.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (165)$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (165)$

Этап 2

Точное значение $\sin (165)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (15)$

Этап 2.2

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - 30)$

Этап 2.3

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - (30))$

Этап 2.4

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 2.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Этап 2.7

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Этап 2.8

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.9

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.9.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.9.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.9.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.9.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 2.9.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 2.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.5

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.9

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.10

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 4.2.1.12

Умножим $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Этап 4.2.1.12.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Этап 4.2.1.13

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Этап 4.2.1.13.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Этап 4.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Этап 4.2.1.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 - 2 + 6}{16}$

Этап 4.2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 2 + 6}{16}$

Этап 4.2.4

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{4}{16}$

Этап 5

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{16}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$