Тригонометрия Примеры

$\sin (105) + \sin (15)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\sin (105)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (75) + \sin (15)$

Этап 1.1.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (30 + 45) + \sin (15)$

Этап 1.1.3

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45) + \sin (15)$

Этап 1.1.4

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45) + \sin (15)$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45) + \sin (15)$

Этап 1.1.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45) + \sin (15)$

Этап 1.1.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (15)$

Этап 1.1.8

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (15)$

Этап 1.1.8.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (15)$

Этап 1.1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (15)$

Этап 1.1.8.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \sin (15)$

Этап 1.1.8.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \sin (15)$

Этап 1.1.8.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \sin (15)$

Этап 1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (15)$

Этап 1.2

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45 - 30)$

Этап 1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45 - (30))$

Этап 1.2.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)$

Этап 1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)$

Этап 1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)$

Этап 1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

Этап 1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{0 + \sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

Этап 2.4

Добавим $\sqrt{6}$ и $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{4}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{4}$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Десятичная форма:

$1.22474487 \dots$