Тригонометрия Примеры

$\cot (165)$

Этап 1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен во втором квадранте.

$- \cot (15)$

Этап 2

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cot (45 - 30)$

Этап 3

Выделим отрицательную часть.

$- \cot (45 - (30))$

Этап 4

Применим формулу для разности углов.

$- \frac{\cot (45) \cot (30) + 1}{\cot (30) - \cot (45)}$

Этап 5

Точное значение $\cot (45)$ : $1$ .

$- \frac{1 \cot (30) + 1}{\cot (30) - \cot (45)}$

Этап 6

Точное значение $\cot (30)$ : $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\cot (30) - \cot (45)}$

Этап 7

Точное значение $\cot (30)$ : $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \cot (45)}$

Этап 8

Точное значение $\cot (45)$ : $1$ .

$- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 9

Упростим $- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ на $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1})$

Этап 9.4

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ на $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$

Этап 9.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}$

Этап 9.6

Упростим.

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 9.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Возведем $\sqrt{3} + 1$ в степень $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 9.7.2

Возведем $\sqrt{3} + 1$ в степень $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} {(\sqrt{3} + 1)}^{1}}{2}$

Этап 9.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1 + 1}}{2}$

Этап 9.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}$

Этап 9.8

Упростим ${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Перепишем ${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ в виде $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 9.8.2

Развернем $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 9.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 9.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.3.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3.1.5

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{3 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3.1.6

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 9.8.3.1.7

Умножим $1$ на $1$ .

$- \frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Этап 9.8.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$- \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.8.3.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$- \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.9

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 9.9.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Этап 9.9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Этап 9.9.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 9.9.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 9.9.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Этап 9.9.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Этап 9.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Этап 9.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 3.73205080 \dots$