Тригонометрия Примеры

$\cot (105)$

Этап 1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен во втором квадранте.

$- \cot (75)$

Этап 2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cot (30 + 45)$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов.

$- \frac{\cot (30) \cot (45) - 1}{\cot (45) + \cot (30)}$

Этап 4

Точное значение $\cot (30)$ : $\sqrt{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \cot (45) - 1}{\cot (45) + \cot (30)}$

Этап 5

Точное значение $\cot (45)$ : $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\cot (45) + \cot (30)}$

Этап 6

Точное значение $\cot (45)$ : $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{1 + \cot (30)}$

Этап 7

Точное значение $\cot (30)$ : $\sqrt{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 8

Упростим $- \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{1 + \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}})$

Этап 8.3

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Этап 8.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$- \frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.5

Упростим.

$- \frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{3}$ .

$- \frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- \frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$- \frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.6.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.6.5

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.6.6

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Этап 8.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 8.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Этап 8.7

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$- \frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.8

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- \frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.9.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.9.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.9.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.9.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.9.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Этап 8.9.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Этап 8.9.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Этап 8.9.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Этап 8.9.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Этап 8.9.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Этап 8.9.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Этап 8.9.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Этап 8.9.1.5.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Этап 8.9.2

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.9.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.10

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.10.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3})))$

Этап 8.11

Перепишем $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ в виде $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- - (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Этап 8.12

Применим свойство дистрибутивности.

$- - (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Этап 8.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- - (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Этап 8.14

Умножим $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- - (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Этап 8.14.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- - (- 2 + \sqrt{3})$

Этап 8.15

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- - 2 - \sqrt{3})$

Этап 8.16

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Этап 8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Этап 8.18

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Этап 8.19

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.19.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Этап 8.19.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 0.26794919 \dots$