Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{5 π}{4} - \frac{11 π}{6})$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{5 π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11 π}{6})$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{11 π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11 π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{11 π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\cos (\frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{11 π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{11 π}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{11 π \cdot 2}{6 \cdot 2})$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\cos (\frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{11 π \cdot 2}{12})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{5 π \cdot 3 - 11 π \cdot 2}{12})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\cos (\frac{15 π - 11 π \cdot 2}{12})$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 11$ .

$\cos (\frac{15 π - 22 π}{12})$

Этап 5.3

Вычтем $22 π$ из $15 π$ .

$\cos (\frac{- 7 π}{12})$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (- \frac{7 π}{12})$

Этап 7

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{17 π}{12})$

Этап 8

Точное значение $\cos (\frac{17 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Представим $\frac{17 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Этап 8.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Этап 8.3

Заменим $\pm$ на $-$ , так как косинус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Этап 8.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

Этап 8.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Этап 8.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 8.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 8.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 8.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 8.4.7

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.7.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 8.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Этап 8.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Этап 8.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 8.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.25881904 \dots$