Тригонометрия Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{2}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{2}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{x + 2}{x}$ на $\frac{x - 2}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}$

Этап 3.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

Этап 4

Перепишем $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}$

Этап 4.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$