Тригонометрия Примеры

\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ ,

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда

\arcsin (\frac{2}{x})

$\arcsin (\frac{2}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})

$(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}, \frac{2}{x})$ . Следовательно,

\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))

$\cos (\arcsin (\frac{2}{x}))$ равно

\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$ .

\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2}{x})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 1

$a = 1$ и

b = \frac{2}{x}

$b = \frac{2}{x}$ .

\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{(1 + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}) (1 - \frac{2}{x})}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (1 - \frac{2}{x})}$

Этап 3.3

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} (\frac{x}{x} - \frac{2}{x})}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}

$\sqrt{\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x - 2}{x}}$

Этап 3.5

Умножим

\frac{x + 2}{x}

$\frac{x + 2}{x}$ на

\frac{x - 2}{x}

$\frac{x - 2}{x}$ .

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x \cdot x}}$

Этап 3.6

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}}$

Этап 4

Перепишем

\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}$ в виде

{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))

${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем полную степень

1^{2}

$1^{2}$ из

(x + 2) (x - 2)

$(x + 2) (x - 2)$ .

\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2}}}$

Этап 4.2

Вынесем полную степень

x^{2}

$x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.3

Перегруппируем дробь

\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}

$\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{x^{2} \cdot 1}$ .

\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня.

\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 6

Объединим

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ и

\sqrt{(x + 2) (x - 2)}

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$