Тригонометрия Примеры

$\cos (105 \tan (15))$

Этап 1

Точное значение $\tan (15)$ : $2 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cos (105 \tan (45 - 30))$

Этап 1.2

Выделим отрицательную часть.

$\cos (105 \tan (45 - (30)))$

Этап 1.3

Применим формулу для разности углов.

$\cos (105 \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})$

Этап 1.4

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\cos (105 \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})$

Этап 1.5

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cos (105 \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})$

Этап 1.6

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\cos (105 \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})$

Этап 1.7

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cos (105 \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Этап 1.8

Упростим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (105 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}))$

Этап 1.8.1.2

Объединим.

$\cos (105 \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (105 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Этап 1.8.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$\cos (105 \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Этап 1.8.3.2

Сократим общий множитель.

$\cos (105 \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Этап 1.8.3.3

Перепишем это выражение.

$\cos (105 \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})$

Этап 1.8.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\cos (105 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Этап 1.8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\cos (105 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Этап 1.8.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1$ .

$\cos (105 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Этап 1.8.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (105 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Этап 1.8.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (105 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Этап 1.8.6

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cos (105 (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Этап 1.8.7

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cos (105 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Этап 1.8.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\cos (105 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Этап 1.8.9

Упростим.

$\cos (105 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.10.1

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (105 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.10.2

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (105 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})$

Этап 1.8.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (105 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})$

Этап 1.8.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (105 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})$

Этап 1.8.11

Перепишем ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\cos (105 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.12

Развернем $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (105 \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (105 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (105 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\cos (105 \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.13.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.13.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.13.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})$

Этап 1.8.13.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})$

Этап 1.8.13.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})$

Этап 1.8.13.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})$

Этап 1.8.13.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})$

Этап 1.8.13.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})$

Этап 1.8.13.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})$

Этап 1.8.13.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})$

Этап 1.8.13.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})$

Этап 1.8.13.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})$

Этап 1.8.13.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})$

Этап 1.8.13.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\cos (105 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})$

Этап 1.8.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\cos (105 \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})$

Этап 1.8.13.3

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$\cos (105 \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})$

Этап 1.8.14

Сократим общий множитель $12 - 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\cos (105 \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})$

Этап 1.8.14.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$\cos (105 \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\cos (105 \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})$

Этап 1.8.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\cos (105 \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})$

Этап 1.8.14.4.2

Сократим общий множитель.

$\cos (105 \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})$

Этап 1.8.14.4.3

Перепишем это выражение.

$\cos (105 \frac{2 - \sqrt{3}}{1})$

Этап 1.8.14.4.4

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$\cos (105 (2 - \sqrt{3}))$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (105 \cdot 2 + 105 (- \sqrt{3}))$

Этап 3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $105$ на $2$ .

$\cos (210 + 105 (- \sqrt{3}))$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $105$ .

$\cos (210 - 105 \sqrt{3})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\cos (210 - 105 \sqrt{3})$

Десятичная форма:

$0.88184173 \dots$