Тригонометрия Примеры

$\cos (105) \cos (75)$

Этап 1

Точное значение $\cos (105)$ : $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (75) \cos (75)$

Этап 1.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \cos (30 + 45) \cos (75)$

Этап 1.3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (75)$

Этап 1.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Этап 1.8

Упростим $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Этап 1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Этап 1.8.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Этап 1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Этап 1.8.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (75)$

Этап 1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (75)$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (75)$

Этап 2

Точное значение $\cos (75)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (30 + 45)$

Этап 2.2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Этап 2.3

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))$

Этап 2.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.7

Упростим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.7.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 3

Умножим $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.5

Умножим $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.6

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.9

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.9.2

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.10

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 6.1.13

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 6.1.13.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 6.1.13.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Этап 6.1.13.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Этап 6.1.13.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Этап 6.1.13.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Этап 6.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Этап 6.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Этап 6.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 6.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 6.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Этап 6.1.14.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Этап 6.2

Добавим $6$ и $2$ .

$- \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Этап 6.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Этап 7

Сократим общий множитель $8 - 4 \sqrt{3}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Этап 7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.06698729 \dots$