Тригонометрия Примеры

$\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i}$ на комплексно сопряженное $4 - 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{- 3 + 4 i}{4 - 3 i} \cdot \frac{4 + 3 i}{4 + 3 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(- 3 + 4 i) (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(- 3 + 4 i) (4 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 (4 + 3 i) + 4 i (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \cdot 4 - 3 (3 i) + 4 i (4 + 3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \cdot 4 - 3 (3 i) + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{- 12 - 3 (3 i) + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 4 i \cdot 4 + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 4 i (3 i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $4 i (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 (i^{1} i)}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 (i^{1} i^{1})}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i^{1 + 1}}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 i^{2}}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i + 12 \cdot - 1}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{- 12 - 9 i + 16 i - 12}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $12$ из $- 12$ .

$\frac{- 24 - 9 i + 16 i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $- 9 i$ и $16 i$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{(4 - 3 i) (4 + 3 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(4 - 3 i) (4 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 (4 + 3 i) - 3 i (4 + 3 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 \cdot 4 + 4 (3 i) - 3 i (4 + 3 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 24 + 7 i}{4 \cdot 4 + 4 (3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 4 (3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 12 i - 12 i - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Вычтем $12 i$ из $12 i$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 0 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $16$ и $0$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 - 9 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{16 + 9}$

Этап 2.3.4

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{- 24 + 7 i}{25}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{- 24 + 7 i}{25}$ на две дроби.

$\frac{- 24}{25} + \frac{7 i}{25}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24}{25} + \frac{7 i}{25}$