Тригонометрия Примеры

$4 + \sqrt{y - 2} = y$

Этап 1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{y - 2} = y - 4$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y - 2}}^{2} = {(y - 4)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 2}$ в виде ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 4)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 2)}^{1} = {(y - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$y - 2 = {(y - 4)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(y - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(y - 4)}^{2}$ в виде $(y - 4) (y - 4)$ .

$y - 2 = (y - 4) (y - 4)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(y - 4) (y - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = y (y - 4) - 4 (y - 4)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$y - 2 = y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $y$ .

$y - 2 = y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y - 2 = y^{2} - 4 y - 4 y + 16$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $4 y$ из $- 4 y$ .

$y - 2 = y^{2} - 8 y + 16$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} - 8 y + 16 = y - 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 8 y + 16 - y = - 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $y$ из $- 8 y$ .

$y^{2} - 9 y + 16 = - 2$

Этап 4.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 9 y + 16 + 2 = 0$

Этап 4.4

Добавим $16$ и $2$ .

$y^{2} - 9 y + 18 = 0$

Этап 4.5

Разложим $y^{2} - 9 y + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 9$ .

$- 6, - 3$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 6) (y - 3) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 3 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

Этап 4.8

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 6) (y - 3) = 0$ верно.

$y = 6, 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $4 + \sqrt{y - 2} = y$ истинным.

$y = 6$