Тригонометрия Примеры

$z^{3} + 8 = 0$

Этап 1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$z^{3} = - 8$

Этап 2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$z^{3} + 8 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = z$ и $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

Этап 3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Этап 5

Приравняем $z + 2$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $z + 2$ к $0$ .

$z + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$z = - 2$

Этап 6

Приравняем $z^{2} - 2 z + 4$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $z^{2} - 2 z + 4$ к $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

Этап 6.2

Решим $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ верно.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$