Тригонометрия Примеры

$5^{\frac{z + 1}{3}} = 25^{\frac{1}{z}}$

Этап 1

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$5^{\frac{z + 1}{3}} = 5^{2 \frac{1}{z}}$

Этап 2

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$\frac{z + 1}{3} = 2 \frac{1}{z}$

Этап 3

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{z}$ .

$\frac{z + 1}{3} = \frac{2}{z}$

Этап 3.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(z + 1) z = 3 \cdot 2$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $(z + 1) z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$z \cdot z + 1 z = 3 \cdot 2$

Этап 3.3.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $z$ на $z$ .

$z^{2} + 1 z = 3 \cdot 2$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $z$ на $1$ .

$z^{2} + z = 3 \cdot 2$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$z^{2} + z = 6$

Этап 3.3.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + z - 6 = 0$

Этап 3.3.4

Разложим $z^{2} + z - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 3.3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(z - 2) (z + 3) = 0$

Этап 3.3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z - 2 = 0$

$z + 3 = 0$

Этап 3.3.6

Приравняем $z - 2$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $z - 2$ к $0$ .

$z - 2 = 0$

Этап 3.3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$z = 2$

Этап 3.3.7

Приравняем $z + 3$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Приравняем $z + 3$ к $0$ .

$z + 3 = 0$

Этап 3.3.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$z = - 3$

Этап 3.3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z - 2) (z + 3) = 0$ верно.

$z = 2, - 3$