Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (2 x)$ .

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6

Подставим $\sin (2 x)$ вместо $u$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ .

$2 x = 0.39192267$

Этап 9.3

Разделим каждый член $2 x = 0.39192267$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0.39192267$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0.39192267}{2}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Разделим $0.39192267$ на $2$ .

$x = 0.19596133$

Этап 9.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

Этап 9.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вычтем $0.39192267$ из $3.14159265$ .

$2 x = 2.74966997$

Этап 9.5.2

Разделим каждый член $2 x = 2.74966997$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = 2.74966997$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Этап 9.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

Этап 9.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2.74966997}{2}$

Этап 9.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.3.1

Разделим $2.74966997$ на $2$ .

$x = 1.37483498$

Этап 9.6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 9.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 9.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9.7

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ , для любого целого $n$