Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\cos (x)}$ в виде ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ в виде $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2 \cos (x)$ из $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $4 \cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Этап 3.1.2

Добавим $4 \cos (x)$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Этап 3.1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Добавим $\cos (x)$ и $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 3.3

Разложим $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ для всех.

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Изменим порядок членов.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Этап 3.3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Этап 3.3.2.2.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Этап 3.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Этап 3.3.2.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Этап 3.3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Этап 3.3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Этап 3.3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $- 4 \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $- 4 \cos (x) + 1$ к $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Этап 3.5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Этап 3.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Этап 3.5.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Этап 3.5.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Этап 3.5.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Этап 3.5.2.6.2.2

Вычтем $1.31811607$ из $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Этап 3.5.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.5.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 3.6.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 3.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.6.2.4

$x = 2 π - 0$

Этап 3.6.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 3.6.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.6.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ истинным.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$