Тригонометрия Примеры

$\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{11 + x}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 x - 2} = - 1 - \sqrt{11 + x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x - 2}}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 2}$ в виде ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x - 2)}^{1} = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$3 x - 2 = {(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- 1 - \sqrt{11 + x})}^{2}$ в виде $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ .

$3 x - 2 = (- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- 1 - \sqrt{11 + x}) (- 1 - \sqrt{11 + x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 2 = - 1 (- 1 - \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} (- 1 - \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 2 = - 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 - 1 (- \sqrt{11 + x}) - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1 (- \sqrt{11 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $\sqrt{11 + x}$ на $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} \cdot - 1 - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- \sqrt{11 + x} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Умножим $\sqrt{11 + x}$ на $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} - \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{11 + x} (- \sqrt{11 + x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 1 \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{11 + x}$ на $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} \sqrt{11 + x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{11 + x}$ в степень $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} \sqrt{11 + x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{11 + x}$ в степень $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1} {\sqrt{11 + x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {\sqrt{11 + x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{11 + x}}^{2}$ в виде $11 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11 + x}$ в виде ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + {(11 + x)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$3 x - 2 = 1 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + 11 + x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $1$ и $11$ .

$3 x - 2 = 12 + \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 + x} + x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{11 + x}$ и $\sqrt{11 + x}$ .

$3 x - 2 = 12 + 2 \sqrt{11 + x} + x$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{11 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$ .

$12 + 2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{11 + x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{11 + x} + x = 3 x - 2 - 12$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{11 + x} = 3 x - 2 - 12 - x$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 2 - 12$

Этап 4.2.4

Вычтем $12$ из $- 2$ .

$2 \sqrt{11 + x} = 2 x - 14$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{11 + x})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11 + x}$ в виде ${(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(11 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(11 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(11 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(11 + x)}^{1} = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (11 + x) = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 11 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $4$ на $11$ .

$44 + 4 x = {(2 x - 14)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x - 14)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 14)}^{2}$ в виде $(2 x - 14) (2 x - 14)$ .

$44 + 4 x = (2 x - 14) (2 x - 14)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(2 x - 14) (2 x - 14)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$44 + 4 x = 2 x (2 x - 14) - 14 (2 x - 14)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x - 14)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$44 + 4 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$44 + 4 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 14$ на $2$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x - 14 \cdot - 14$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 14$ на $- 14$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 28 x - 28 x + 196$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $28 x$ из $- 28 x$ .

$44 + 4 x = 4 x^{2} - 56 x + 196$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 56 x + 196 = 44 + 4 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 56 x + 196 - 4 x = 44$

Этап 7.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 56 x$ .

$4 x^{2} - 60 x + 196 = 44$

Этап 7.3

Вычтем $44$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 60 x + 196 - 44 = 0$

Этап 7.4

Вычтем $44$ из $196$ .

$4 x^{2} - 60 x + 152 = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 60 x + 152$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 60 x + 152 = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 60 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 15 x) + 152 = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $4$ из $152$ .

$4 x^{2} + 4 (- 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Этап 7.5.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 15 x)$ .

$4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38 = 0$

Этап 7.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 38$ .

$4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$

Этап 7.6

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Разделим каждый член $4 (x^{2} - 15 x + 38) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 7.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{2} - 15 x + 38)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 7.6.2.1.2

Разделим $x^{2} - 15 x + 38$ на $1$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = \frac{0}{4}$

Этап 7.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} - 15 x + 38 = 0$

Этап 7.7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 15$ и $c = 38$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 38)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 38$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $38$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 152}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.1.3

Вычтем $152$ из $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{73}}{2}$

Этап 7.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{15 + \sqrt{73}}{2}, \frac{15 - \sqrt{73}}{2}$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{11 + x} = - 1$ истинным.

$Нет решения$