Тригонометрия Примеры

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ и $c = \sqrt{3}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.3

Умножим $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.4.5

Найдем экспоненту.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.5

Умножим $4$ на $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.6

Добавим $4$ и $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

Этап 7.5

Умножим $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 7.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.6.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.6.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.6.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.6.6.5

Найдем экспоненту.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.7

Изменим порядок множителей в $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ .

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \sqrt{3}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Этап 12.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Этап 12.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Этап 12.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Этап 12.4.3

Вычтем $0.6154797$ из $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Этап 12.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , для любого целого $n$