Тригонометрия Примеры

$(\tan (x + 1)) (\cos (x - 1)) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x + 1) = 0$

$\cos (x - 1) = 0$

Этап 2

Приравняем $\tan (x + 1)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\tan (x + 1)$ к $0$ .

$\tan (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Решим $\tan (x + 1) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x + 1 = \arctan (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x + 1 = π + 0$

Этап 2.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Добавим $π$ и $0$ .

$x + 1 = π$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = π - 1$

Этап 2.2.6

Найдем период $\tan (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Добавим $π$ к $- 1$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1 + π$

Этап 2.2.7.2

Перечислим новые углы.

$x = - 1 + π$

Этап 2.2.8

Период функции $\tan (x + 1)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\cos (x - 1)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (x - 1)$ к $0$ .

$\cos (x - 1) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (x - 1) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x - 1 = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x - 1 = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + 1$

Этап 3.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - 1 = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.5.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.5.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x - 1 = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.5.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - 1 = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} + 1$

Этап 3.2.6

Найдем период $\cos (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7

Период функции $\cos (x - 1)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x + 1) \cos (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n, \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $- 1 + π + π n$ и $π - 1 + π + π n$ в $- 1 + π + π n$ .

$x = - 1 + π + π n, \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2

Объединим $\frac{π}{2} + 1 + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + 1 + π n$ .

$x = - 1 + π + π n, \frac{π}{2} + 1 + π n$ , для любого целого $n$