Тригонометрия Примеры

$\frac{12}{x^{2} - 16} - \frac{24}{x - 4} = 3$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{12}{x^{2} - 4^{2}} - \frac{24}{x - 4} = 3$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{12}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{24}{x - 4} = 3$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 4) (x - 4), x - 4, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 4, x - 4, x - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x - 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{12}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{24}{x - 4} = 3$ умножим на $(x + 4) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{12}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{24}{x - 4} = 3$ на $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{12}{(x + 4) (x - 4)} ((x + 4) (x - 4)) - \frac{24}{x - 4} ((x + 4) (x - 4)) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{(x + 4) (x - 4)} ((x + 4) (x - 4)) - \frac{24}{x - 4} ((x + 4) (x - 4)) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$12 - \frac{24}{x - 4} ((x + 4) (x - 4)) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{24}{x - 4}$ в числитель.

$12 + \frac{- 24}{x - 4} ((x + 4) (x - 4)) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x + 4) (x - 4)$ .

$12 + \frac{- 24}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{- 24}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$12 - 24 (x + 4) = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - 24 x - 24 \cdot 4 = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 24$ на $4$ .

$12 - 24 x - 96 = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.2

Вычтем $96$ из $12$ .

$- 24 x - 84 = 3 ((x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 24 x - 84 = 3 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 24 x - 84 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 24 x - 84 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$- 24 x - 84 = 3 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$- 24 x - 84 = 3 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- 24 x - 84 = 3 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 24 x - 84 = 3 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- 24 x - 84 = 3 (x^{2} - 16)$

Этап 3.3.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 24 x - 84 = 3 x^{2} + 3 \cdot - 16$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $3$ на $- 16$ .

$- 24 x - 84 = 3 x^{2} - 48$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 24 x - 84 - 3 x^{2} = - 48$

Этап 4.2

Добавим $48$ к обеим частям уравнения.

$- 24 x - 84 - 3 x^{2} + 48 = 0$

Этап 4.3

Добавим $- 84$ и $48$ .

$- 24 x - 3 x^{2} - 36 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 24 x - 3 x^{2} - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Изменим порядок $- 24 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 24 x - 36 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 24 x - 36 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 24 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (8 x) - 36 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 36$ .

$- 3 x^{2} - 3 (8 x) - 3 \cdot 12 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (8 x)$ .

$- 3 (x^{2} + 8 x) - 3 \cdot 12 = 0$

Этап 4.4.1.6

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} + 8 x) - 3 (12)$ .

$- 3 (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} + 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $8$ .

$2, 6$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x + 2) (x + 6) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.7

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (x + 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = - 2, - 6$