Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\cos (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Этап 2.1.1.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Этап 2.1.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Этап 2.1.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 2$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2

Применим формулу Пифагора.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\sin (x) - \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x) - \cos (x)$ к $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) - \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.4

Разделим дроби.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Этап 6.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Этап 6.2.8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 1$

Этап 6.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 6.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.11

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.12

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.12.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.2.12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 6.2.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 6.2.12.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2.13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.2.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2.13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2.14

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$