Тригонометрия Примеры

$2 \cos (2 x) + 7 \sin (x) = 5$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (2 x) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) - 5 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$- 3 - 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$- 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $7$ как $3$ плюс $4$

$- 4 \sin^{2} (x) + (3 + 4) \sin (x) - 3 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 4 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 4 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin (x) (- 4 \sin (x) + 3) - (- 4 \sin (x) + 3) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 4 \sin (x) + 3$ .

$(- 4 \sin (x) + 3) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 4 \sin (x) + 3 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $- 4 \sin (x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $- 4 \sin (x) + 3$ к $0$ .

$- 4 \sin (x) + 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $- 4 \sin (x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sin (x) = - 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- 4 \sin (x) = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \sin (x) = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{3}{4})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$x = 0.84806207$

Этап 5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

Этап 5.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.84806207$

Этап 5.2.6.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.84806207$

Этап 5.2.6.3

Вычтем $0.84806207$ из $3.14159265$ .

$x = 2.29353057$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- 4 \sin (x) + 3) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 0.84806207 + 2 π n, 2.29353057 + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$