Тригонометрия Примеры

$(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Этап 1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Этап 2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 3

Развернем $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим противоположные члены в $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ и $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.1.2

Добавим $- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ и $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.1.3

Добавим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ и $0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.2.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.2.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)$

Этап 4.2.3

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 4.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 4.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)$

Этап 4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)$

Этап 5

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \cos^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{\cos (x)}$ и $b = \cos (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$

Этап 9

Развернем $(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sec (x) - \cos (x))$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим противоположные члены в $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sec (x) (- \cos (x))$ и $\cos (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \cos (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.1.2

Добавим $- \cos (x) \sec (x)$ и $\cos (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.1.3

Добавим $\sec (x) \sec (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.2.1.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 10.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)$

Этап 10.2.3

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 10.2.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 10.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 10.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)$