Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{8}$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 2.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 2.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 2.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}, - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 5

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\arctan (\frac{\sqrt{6}}{4})$ .

$θ = 0.54946724$

Этап 5.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

Этап 5.4

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Избавимся от скобок.

$θ = 3.14159265 + 0.54946724$

Этап 5.4.2

Избавимся от скобок.

$θ = (3.14159265) + 0.54946724$

Этап 5.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.54946724$ .

$θ = 3.69105989$

Этап 5.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.6

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $θ$ в $\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{\sqrt{6}}{4})$ .

$θ = - 0.54946724$

Этап 6.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265)$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $2 π$ к $- 0.54946724 - (3.14159265)$ .

$θ = - 0.54946724 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $2.5921254$ является положительным и отличается от $- 0.54946724 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$θ = 2.5921254$

Этап 6.5

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $π$ к $- 0.54946724$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.54946724 + π$

Этап 6.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.54946724$

Этап 6.6.3

Вычтем $0.54946724$ из $3.14159265$ .

$2.5921254$

Этап 6.6.4

Перечислим новые углы.

$θ = 2.5921254$

Этап 6.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$θ = 0.54946724 + π n, 3.69105989 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $0.54946724 + π n$ и $3.69105989 + π n$ в $0.54946724 + π n$ .

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n, 2.5921254 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $2.5921254 + π n$ и $2.5921254 + π n$ в $2.5921254 + π n$ .

$θ = 0.54946724 + π n, 2.5921254 + π n$ , для любого целого $n$