Тригонометрия Примеры

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$

Этап 1

Перепишем выражение в виде $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$ .

$6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) - 1$

Этап 2

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 6$

$b = \frac{2 π}{7}$

$c = \frac{10 π}{7}$

$d = - 1$

Этап 3

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $6$

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $6 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{2 π}{7}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{2 π}{7}$ приблизительно равно $0.8975979$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$7$

Этап 4.2

Найдем период $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{2 π}{7}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{2 π}{7}$ приблизительно равно $0.8975979$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$7$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$7$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{10 π}{7}}{\frac{2 π}{7}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $\frac{10 π}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 π$ из $10 π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 π (5)}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{2 π \cdot 5}{7} \cdot \frac{7}{2 π}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{5}{7} \cdot 7$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{5}{7} \cdot 7$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $5$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $6$

Период: $7$

Сдвиг фазы: $5$ ( $5$ вправо)

Смещение по вертикали: $- 1$

Этап 7

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})$

Этап 7.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (5) - 10 π}{7})$

Этап 7.1.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})$

Этап 7.1.2.1.3

Вычтем $10 π$ из $10 π$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{0}{7})$

Этап 7.1.2.1.4

Разделим $0$ на $7$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

Этап 7.1.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

Этап 7.1.2.1.6

Умножим $6$ на $1$ .

$f (5) = - 1 + 6$

Этап 7.1.2.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (5) = 5$

Этап 7.1.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 7.2

Найдем точку в $x = \frac{27}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{27}{4}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Этап 7.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{4}) - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{27}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.2.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{27}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.2.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{27}{2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.2.2

Объединим $π$ и $\frac{27}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 27}{2} - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.2.3

Перенесем $27$ влево от $π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π}{7})$

Этап 7.2.2.1.3

Чтобы записать $- 10 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

Этап 7.2.2.1.4

Объединим $- 10 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Этап 7.2.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Этап 7.2.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.6.1

Умножим $2$ на $- 10$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{27 π - 20 π}{2}}{7})$

Этап 7.2.2.1.6.2

Вычтем $20 π$ из $27 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{7})$

Этап 7.2.2.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Этап 7.2.2.1.8

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.8.1

Вынесем множитель $7$ из $7 π$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Этап 7.2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Этап 7.2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 7.2.2.1.9

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

Этап 7.2.2.1.10

Умножим $6$ на $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1 + 0$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$f (\frac{27}{4}) = - 1$

Этап 7.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

Найдем точку в $x = \frac{17}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{17}{2}$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Этап 7.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π \cdot 17 - 10 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.2.2

Перенесем $17$ влево от $π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.3

Вычтем $10 π$ из $17 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 π}{7})$

Этап 7.3.2.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

Этап 7.3.2.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

Этап 7.3.2.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.3.2.1.7

Умножим $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

Этап 7.3.2.1.7.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

Этап 7.3.2.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

Этап 7.3.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$- 7$

Этап 7.4

Найдем точку в $x = \frac{41}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{41}{4}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4})}{7} - \frac{10 π}{7})$

Этап 7.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{4}) - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π) (\frac{41}{2 (2)}) - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.2.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (\frac{41}{2 \cdot 2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.2.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π (\frac{41}{2}) - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.2.2

Объединим $π$ и $\frac{41}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{π \cdot 41}{2} - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.2.3

Перенесем $41$ влево от $π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π}{7})$

Этап 7.4.2.1.3

Чтобы записать $- 10 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} - 10 π \cdot \frac{2}{2}}{7})$

Этап 7.4.2.1.4

Объединим $- 10 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π}{2} + \frac{- 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Этап 7.4.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 10 π \cdot 2}{2}}{7})$

Этап 7.4.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.6.1

Умножим $2$ на $- 10$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{41 π - 20 π}{2}}{7})$

Этап 7.4.2.1.6.2

Вычтем $20 π$ из $41 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{\frac{21 π}{2}}{7})$

Этап 7.4.2.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{21 π}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Этап 7.4.2.1.8

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.8.1

Вынесем множитель $7$ из $21 π$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Этап 7.4.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7})$

Этап 7.4.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.4.2.1.9

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 7.4.2.1.10

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 6 \cdot 0$

Этап 7.4.2.1.11

Умножим $6$ на $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1 + 0$

Этап 7.4.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$f (\frac{41}{4}) = - 1$

Этап 7.4.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.5

Найдем точку в $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $12$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12)}{7} - \frac{10 π}{7})$

Этап 7.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π (12) - 10 π}{7})$

Этап 7.5.2.1.2

Умножим $12$ на $2$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{24 π - 10 π}{7})$

Этап 7.5.2.1.3

Вычтем $10 π$ из $24 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{14 π}{7})$

Этап 7.5.2.1.4

Сократим общий множитель $14$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.4.1

Вынесем множитель $7$ из $14 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7})$

Этап 7.5.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 (1)})$

Этап 7.5.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{7 (2 π)}{7 \cdot 1})$

Этап 7.5.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (12) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 7.5.2.1.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (2 π)$

Этап 7.5.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cos (0)$

Этап 7.5.2.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (12) = - 1 + 6 \cdot 1$

Этап 7.5.2.1.7

Умножим $6$ на $1$ .

$f (12) = - 1 + 6$

Этап 7.5.2.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (12) = 5$

Этап 7.5.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 7.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $6$

Период: $7$

Сдвиг фазы: $5$ ( $5$ вправо)

Смещение по вертикали: $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 5 & 5 \\ \frac{27}{4} & - 1 \\ \frac{17}{2} & - 7 \\ \frac{41}{4} & - 1 \\ 12 & 5 \end{array}$

Этап 9