Тригонометрия Примеры

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x}{x - 1}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 2) + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 2 x - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5.4

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5.5

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5.6

Перепишем $x^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 5.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x - 2}$