Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (67.5) - \sin^{2} (67.5)$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 \cdot 67.5)$

Этап 2

Умножим $2$ на $67.5$ .

$\cos (135)$

Этап 3

Точное значение $\cos (135)$ : $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Представим $135$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{270}{2})$

Этап 3.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Этап 3.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$

Этап 3.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (270)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (90)}{2}}$

Этап 3.4.2

Точное значение $\cos (90)$ : $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 - 0}{2}}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Этап 3.4.4

Добавим $1$ и $0$ .

$- \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.8.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.4.8.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.70710678 \dots$