Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (60) + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Этап 1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2^{2}} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Этап 1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + \sec^{2} (150) + \csc^{2} (225)$

Этап 1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{4} + {(- \sec (30))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.6

Точное значение $\sec (30)$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.7

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} + {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.9.3

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.11

Умножим $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.12.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 3}{9} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.14

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{12}{9} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.15

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 (4)}{9} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + \csc^{2} (225)$

Этап 1.16

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \csc (45))}^{2}$

Этап 1.17

Точное значение $\csc (45)$ : $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- \sqrt{2})}^{2}$

Этап 1.18

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 1.19

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 1.20

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 1.21

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.21.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.21.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.21.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.21.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.21.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2^{1}$

Этап 1.21.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} + \frac{4}{3} + 2$

Этап 2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} + 2$

Этап 2.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Этап 2.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2$

Этап 2.5

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1}$

Этап 2.6

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Этап 2.7

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Этап 2.8

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 3$ .

$\frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Этап 2.9

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{2 \cdot 12}{12}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 12}{12}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{3 + 16 + 2 \cdot 12}{12}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{3 + 16 + 24}{12}$

Этап 5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3$ и $16$ .

$\frac{19 + 24}{12}$

Этап 5.2

Добавим $19$ и $24$ .

$\frac{43}{12}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{43}{12}$

Десятичная форма:

$3.58\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{7}{12}$