Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{(\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{(\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\cos (x) - \sin (x)) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.2

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.4

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.6

Добавим $- \cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 0 + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.7

Добавим $\cos^{2} (x)$ и $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.8

Перепишем $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Переставляем члены.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.8.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \sec (x)$