Тригонометрия Примеры

${(3 (\cos (20) + i \sin (20)))}^{4}$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

${(3 \cos (20) + 3 (i \sin (20)))}^{4}$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

${(3 \cos (20))}^{4} + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $3 \cos (20)$ .

$3^{4} \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.3

Применим правило умножения к $3 \cos (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{3} \cos^{3} (20)) (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.4

Умножим $3^{3}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перенесем $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3 \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $3$ на $3^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1} \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1 + 3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{4} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (81 \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.6

Умножим $81$ на $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.7

Применим правило умножения к $3 \cos (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (3^{2} \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (9 \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.9

Умножим $9$ на $6$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.10.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.13

Умножим $9$ на $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (- 9 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.14

Умножим $- 9$ на $54$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.15

Умножим $3$ на $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.16

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.16.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.16.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.17

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.18

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.19

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.20

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.21

Умножим $- 1$ на $27$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (- 27 i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.22

Умножим $- 27$ на $12$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) (i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

Этап 3.1.23

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.23.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + {(3 i)}^{4} \sin^{4} (20)$

Этап 3.1.23.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 3^{4} i^{4} \sin^{4} (20)$

Этап 3.1.24

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 i^{4} \sin^{4} (20)$

Этап 3.1.25

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.25.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (20)$

Этап 3.1.25.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (20)$

Этап 3.1.25.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \cdot 1 \sin^{4} (20)$

Этап 3.1.26

Умножим $81$ на $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок множителей в $81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20)$ и $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20)$ .

$- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$ и $81 \sin^{4} (20)$ .

$81 \sin^{4} (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$