Тригонометрия Примеры

${(4 + 3 i)}^{6}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$4^{6} + 6 \cdot 4^{5} (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $4$ в степень $6$ .

$4096 + 6 \cdot 4^{5} (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.2

Возведем $4$ в степень $5$ .

$4096 + 6 \cdot 1024 (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.3

Умножим $6$ на $1024$ .

$4096 + 6144 (3 i) + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $6144$ .

$4096 + 18432 i + 15 \cdot 4^{4} {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.5

Возведем $4$ в степень $4$ .

$4096 + 18432 i + 15 \cdot 256 {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.6

Умножим $15$ на $256$ .

$4096 + 18432 i + 3840 {(3 i)}^{2} + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4096 + 18432 i + 3840 (3^{2} i^{2}) + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4096 + 18432 i + 3840 (9 i^{2}) + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4096 + 18432 i + 3840 (9 \cdot - 1) + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.10

Умножим $3840 (9 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$4096 + 18432 i + 3840 \cdot - 9 + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.10.2

Умножим $3840$ на $- 9$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 20 \cdot 4^{3} {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.11

Возведем $4$ в степень $3$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 20 \cdot 64 {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.12

Умножим $20$ на $64$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 {(3 i)}^{3} + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.13

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (3^{3} i^{3}) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 i^{3}) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (27 (- i)) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.18

Умножим $- 1$ на $27$ .

$4096 + 18432 i - 34560 + 1280 (- 27 i) + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 27$ на $1280$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 15 \cdot 4^{2} {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.20

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 15 \cdot 16 {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.21

Умножим $15$ на $16$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 {(3 i)}^{4} + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.22

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (3^{4} i^{4}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.23

Возведем $3$ в степень $4$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 i^{4}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.24

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.24.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.24.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 (81 \cdot 1) + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.25

Умножим $240 (81 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1

Умножим $81$ на $1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 240 \cdot 81 + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.25.2

Умножим $240$ на $81$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 6 \cdot 4 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.26

Умножим $6$ на $4$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 {(3 i)}^{5} + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.27

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (3^{5} i^{5}) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.28

Возведем $3$ в степень $5$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 i^{5}) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.29

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 (i^{4} i)) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.30

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.30.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.30.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 ({(- 1)}^{2} i)) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.30.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 (1 i)) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.31

Умножим $i$ на $1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 24 (243 i) + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.32

Умножим $243$ на $24$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + {(3 i)}^{6}$

Этап 2.1.33

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 3^{6} i^{6}$

Этап 2.1.34

Возведем $3$ в степень $6$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 i^{6}$

Этап 2.1.35

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 (i^{4} i^{2})$

Этап 2.1.36

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.36.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Этап 2.1.36.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Этап 2.1.36.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 (1 i^{2})$

Этап 2.1.37

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 i^{2}$

Этап 2.1.38

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i + 729 \cdot - 1$

Этап 2.1.39

Умножим $729$ на $- 1$ .

$4096 + 18432 i - 34560 - 34560 i + 19440 + 5832 i - 729$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $34560$ из $4096$ .

$- 30464 + 18432 i - 34560 i + 19440 + 5832 i - 729$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 30464$ и $19440$ .

$- 11024 + 18432 i - 34560 i + 5832 i - 729$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $729$ из $- 11024$ .

$- 11753 + 18432 i - 34560 i + 5832 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $34560 i$ из $18432 i$ .

$- 11753 - 16128 i + 5832 i$

Этап 2.2.4

Добавим $- 16128 i$ и $5832 i$ .

$- 11753 - 10296 i$