Тригонометрия Примеры

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\sec^{4} (x)$ в виде ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 1.2

Перепишем $\tan^{4} (x)$ в виде ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sec^{2} (x)$ и $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sec (x)$ и $b = \tan (x)$ .

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 2.2

Разделим $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ на $1$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 3

Развернем $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим противоположные члены в $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sec (x) (- \tan (x))$ и $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.1.2

Добавим $- \sec (x) \tan (x)$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.1.3

Добавим $\sec (x) \sec (x)$ и $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.2.1.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Этап 4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Этап 4.2.3

Умножим $- \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Этап 4.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Этап 4.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$1$