Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Перепишем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Перепишем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $b = \frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \frac{1}{\cos (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 4.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 4.2.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 5

Развернем $(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (\tan (x) - \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим противоположные члены в $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\tan (x) (- \sec (x))$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.1.2

Добавим $- \sec (x) \tan (x)$ и $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.1.3

Добавим $\tan (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.2.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec (x))$

Этап 6.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\tan^{2} (x) - \sec (x) \sec (x)$

Этап 6.2.3

Умножим $- \sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Этап 6.2.3.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Этап 6.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}$

Этап 6.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Этап 6.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Изменим порядок $\tan^{2} (x)$ и $- \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\tan^{2} (x)$ .

$- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$

Этап 6.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Этап 7

Применим формулу Пифагора.

$- 1 \cdot 1$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$