Тригонометрия Примеры

${(3 (\cos (48) + i \sin (48)))}^{5}$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

${(3 \cos (48) + 3 (i \sin (48)))}^{5}$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

${(3 \cos (48))}^{5} + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $3 \cos (48)$ .

$3^{5} \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.3

Применим правило умножения к $3 \cos (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{4} \cos^{4} (48)) (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.4

Умножим $3^{4}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перенесем $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3 \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $3$ на $3^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1} \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1 + 4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{5} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.5

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (243 \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.6

Умножим $243$ на $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.7

Применим правило умножения к $3 \cos (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (3^{3} \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (27 \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.9

Умножим $27$ на $10$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.10.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.13

Умножим $9$ на $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (- 9 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.14

Умножим $- 9$ на $270$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.15

Применим правило умножения к $3 \cos (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (3^{2} \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.16

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (9 \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.17

Умножим $9$ на $10$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.18

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.18.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.18.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.19

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.20

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.21

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.22

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.23

Умножим $- 1$ на $27$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (- 27 i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.24

Умножим $- 27$ на $90$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) (i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.25

Умножим $3$ на $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.26

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.26.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) ({(3 i)}^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.26.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (3^{4} i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.27

Возведем $3$ в степень $4$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.28

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.28.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.28.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.28.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \cdot 1 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.29

Умножим $81$ на $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.30

Умножим $81$ на $15$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Этап 3.1.31

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.31.1

Применим правило умножения к $3 i \sin (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i)}^{5} \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.31.2

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 3^{5} i^{5} \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.32

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i^{5} \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.33

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (i^{4} i) \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.34

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.34.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(i^{2})}^{2} i) \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.34.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(- 1)}^{2} i) \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.34.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (1 i) \sin^{5} (48)$

Этап 3.1.35

Умножим $i$ на $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок множителей в $243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48)$ и $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48)$ .

$- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48)$ и $1215 \cos (48) \sin^{4} (48)$ .

$1215 \cos (48) \sin^{4} (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$