Тригонометрия Примеры

$\frac{12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1

Сократим общий множитель $12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3$ и $3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $15 \sin (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x))$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 \cdot 1}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 9 \sin (x) + 6}$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $3$ из $9 \sin (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x)) + 6}$

Этап 1.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x))$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 6}$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2}$

Этап 1.6.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

Этап 1.6.6

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

Этап 1.6.7

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$\frac{4 u^{2} + 5 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$\frac{4 u^{2} + 5 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$\frac{4 u^{2} + (1 + 4) u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{4 u^{2} + u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 u^{2} + u) + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u + 1$ .

$\frac{(4 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 3 u + 2}$

Этап 3.2

Разложим $u^{2} + 3 u + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(u + 1) (u + 2)}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 2}$